Прийти с направлением в частную лабораторию можно, но бесплатным анализ от этого не станет почти никогда, направление из ОМС работает именно с государственной сетью лабораторий, а не с любой частной точкой у дома. В частной лаборатории вам, скорее всего, предложат сдать тот же анализ платно по их прайсу, а бумажку с направлением возьмут просто как ориентир, что именно нужно сделать. Бывают исключения, если конкретная частная лаборатория заключила отдельный договор с системой ОМС на определённые виды анализов, но это редкость и её стоит уточнять именно там по телефону, а не предполагать заранее.
Ответить на вопрос